PANDUAN
 |
Oleh : Puji Widodo, S.Pd
Pemberdayaan
MGMP Matematika SMP
kab.
Sragen Tahun 2011
GeoGebra adalah software matematika dinamis
yang menggabungkan geometri, aljabar, dan kalkulus. Software ini dikembangkan
untuk proses belajar mengajar matematika di sekolah oleh Markus Hohenwarter di
Universitas Florida Atlantic.
Di satu sisi, GeoGebra adalah sistem geometri
dinamik. Anda dapat melakukan konstruksi dengan titik, vektor, ruas garis,
garis, irisan kerucut, begitu juga dengan fungsi, dan mengubah hasil konstruksi
selanjutnya.
Di sisi lain, persamaan dan koordinat dapat
dimasukan secara langsung. Jadi, Geogebra memiliki kemampuan menangani
varabel-peubah untuk angka, vektor, titik, menemukan turunan dan integral dari
suatu fungsi, dan menawarkan perintah-perintah seperti Akar atau NilaiEkstrim.
Kedua peninjauan karakteristik Geogebra di atas
adalah: suatu ekspresi pada jendela aljabar bersesuaian dengan suatu objek pada
jendela geometrid dan sebaliknya.
Pada mode ini anda dapat men-drag dan menempatkan suatu objek bebas
dengan mouse. Jika anda memilih suatu
objek dengan mengkliknya pada mode 
Pindah,
anda dapat:
Pindah,
anda dapat:
·
menghapusnya dengan menekan tombol Del
·
memindahkannya dengan menggunakan tombol panah
Catatan: Penekanan tombol Esc juga akan mengaktivkan mode Pindah.
Dengan menahan tombol Ctrl anda dapat memilih beberapa objek dalam waktu yang bersamaan.
Cara lainnya untuk memilih beberapa objek
adalah dengan menekan dan menahan klik kiri dan membuat suatu segi empat
pilihan. Selanjutnya anda dapat menggerakkan beberapa
objek terpilih sekaligus dengan men-drag
salah satu objek dengan mouse.
Segiempat pilihan dapat juga digunakan untuk
menentukan bagian dari jendela gambar untuk pencetakan, ekspor gambar, dan
untuk lembar kerja dinamis (lihat Cetak dan Ekspor).
Pertama pilih titik pusat rotasi. Setelah itu
anda dapat merotasikan objek bebas berpusat pada titik ini dengan men-dragnya dengan mouse.
Klik dua objek untuk memperoleh informasi
mengenai relasi antara kedua objek tersebut (lihat juga perintah Relasi).
Drag dan tempatkan panel gambar untuk
memindahkan titik awal sistem koordinat.
Catatan: Anda dapat juga memindahkan panel gambar
dengan menekan tombol Shift (PC: juga
tombol Ctrl) dan men-drag-nya dengan mouse.
Pada mode ini anda juga dapat melakukan skalasi
pada setiap sumbu dengan men-drag-nya dengan mouse.
Catatan: Penyekalaan sumbu juga dimungkinkan pada
setiap mode lainnya dengan menahan tombol Shift
(PC: juga tombol Ctrl) ketika
men-drag suatu sumbu.
Klik pada sembarang tempat pada panel gambar
untuk memperbesarnya
Klik pada sembarang tempat pada panel gambar
untuk memperkecilnya
Klik pada suatu objek untuk menampilkan atau
menyembunyikannya.
Catatan: Semua objek yang harus disembunyikan akan
menebal. Perubahan yang anda kehendaki (sembunyinya suatu objek) akan terjadi
sesaat setelah anda mengganti ke mode yang lain pada Pita Peralatan.
Tampilkan / Sembunyikan label
Klik pada suatu objek untuk menampilkan atau
menyembunyikan labelnya.
Mode ini membolehkan anda untuk menyalin
properti visual (seperti: warna, ukuran, dan format garis) dari suatu objek ke
beberapa objek lainnya. Untuk melakukannya, pertama anda pilih objek yang
propertinya akan disalin, selanjutnya klik pada semua objek lainnya yang harus
memiliki properti objek yang disalin.
Pengklikan pada panel gambar
akan membuat suatu titik baru.
Catatan: Koordinat-koordinat dari titik akan ditetapkan
ketika tombol mouse dilepaskan.
Dengan mengklik pada ruas garis, garis lurus,
poligon, irisan kerucut, fungsi, atau kurva, anda akan membuat titik pada objek
tersebut (lihat juga perintah Titik). Pengklikan pada perpotongan dua objek
membuat titik perpotongan dari kedua objek tersebut (lihat juga perintah Perpotongan).
·
mengklik semua
titik perpotongan yang terjadi dari kedua objek (jika memungkinkan).
·
mengklik pada suatu perpotongan dari kedua objek
dari kedua objek hanya akan menghasilkan titik
perpotongan tunggal.
Untuk ruas garis, sinar, atau
busur, anda dapat menentukan apakah anda ingin membolehkan titik perpotongan pencilan (lihat Dialog properti).
Cara ini dapat digunakan untuk mendapatkan titik perpotongan yang terletak pada
perpanjangan suatu objek. Sebagai contoh, perpanjangan dari suatu ruas garis
atau sinar adalah suatu garis lurus.
Klik pada...
·
dua titik untuk memperoleh titik tengahnya.
·
satu ruas garis untuk memperoleh titik tengahnya.
·
suatu irisan kerucut untuk mendapatkan pusatnya.
Vektor di antara dua titik
Klik titik awal dan titik akhir dari vektor
tersebut.
Vektor dari titik
Klik suatu titik A dan suatu vektor v
untuk mendapatkan titik B = A + v dan vektor dari A ke B.
Ruas garis di antara dua titik
Pengklikan dua titik A dan B membuat ruas garis antara A dan B. Pada jendela
aljabar, panjang ruas garis tersebut akan dimunculkan.
Ruas dengan panjang yang
diberikan dari titik
Klik pada titik A yang menjadi titik
awal dari ruas garis tersebut. Masukan panjang ruas garis a yang dikehendaki pada jendela masukan yang muncul.
Catatan: Mode ini membuat suatu ruas garis dengan
panjang a dan titik akhir B
yang bias dirotasikan dengan mode Pindah di sekitar titik awal A.
Pindah di sekitar titik awal A. 
Pengklikan dua titik A dan B akan membuat suatu sinar dari titik A melalui titik B.
Pada jendela aljabar, anda akan melihat persamaan garis yang besesuaian dengan
sinar tersebut.
Klik paling sedikit tiga titik yang akan
menjadi titik sudut dari poligon. Lalu klik lagi titik awal untuk menutup poligon tersebut. Pada
jendela aljabar anda akan melihat luas poligon tersebut.
Segi n beraturan
Klik dua titik A dan B dan
masukan angka n pada Bilah masukan
teks dari dialog yang muncul akan memberikan segi n beraturan dengan (termasuk titik A dan B).
Pengklikan dua titik A dan
B menghasilkan suatu garis lurus melalui A dan B. Vektor
Arah garis ini adalah (B - A).
Pengklikan suatu garis g
dan suatu titik A mendefinisikan suatu garis lurus melalui A sejajar
terhadap g. Arah garisnya adalah sama dengan garis g.
Pengklikan suatu garis g
dan suatu titik A menghasilkan suatu garis lurus melalui A tegak
lurus terhadap garis g. Arah garisnya ekivalen dengan vektor tegak lurus
terhadap vektor garis g (lihat juga
perintah VektorTegakLurus).
Garis tengah dari suatu ruas
garis dibuat dengan mengklik suatu ruas garis s atau dua titik A dan B. Arah garisnya ekivalen terhadap
vektor tegak lurus (lihat juga perintah VektorTegakLurus)
ruas garis s atau AB.
Garis bagi sudut dapat
didefiniskan dengan dua cara:
·
Pengklikan tiga titik A, B, C
menghasilkan garis bagi sudut dari sudut yang dibentuk, dimana B adalah titik sudutnya.
·
Pengklikan dua garis menghasilkan garis bagi
sudut untuk sudut-sudut yang terbentuk.
Catatan: Vektor arah dari semua garis bagi sudut
memiliki panjang 1 (vektor satuan).
Garis singgung pada suatu irisan kerucut dapat
dihasilkan dengan dua cara:
·
Pengklikan suatu titik A dan suatu konik c
menghasilkan semua garis singgung yang melalui A ke c.
·
Pengklikan suatu garis g dan suatu konik c
menghasilkan semua garis singgung terhadap c yang sejajar to g.
·
Pengklikan suatu titik A dan suatu fungsi
f menghasilkan garis singgung terhadap f di titik x = x(A).
·
Mode
ini menghasilkan garis polar atau diameter dari suatu irisan kerucut. Anda
juga dapat:
·
mengklik
suatu titik dan suatu irisan kerucut untuk mendapatkan garis polar.
·
mengklik
suatu garis atau vektor dan suatu irisan kerucut untuk mendapatkan garis
diameter
Pengklikan suatu titik M dan sutu titik P
mendefinisikan suatu lingkaran dengan pusat M melalui P.
Jari-jari lingkaran ini adalah jarak MP.
Setelah membuat titik pusat M, anda akan
diminta memasukan jari-jari pada Bilah
masukan pada dialog yang muncul.
Pembuatan suatu segmen garis AB atau dua titik A
dan B mendefiniskan suatu jari-jari lingkaran. Anda akan diminta
mengklik satu kali lagi untuk menentukan posisi titik pusat lingkaran.
Lingkaran melalui tiga titik
Pembuatan tiga titik A, B, dan C
mendefiniskan suatu lingkaran melalui titik-titik tersebut. Jika titik-titik
tersebut terletak pada suatu garis lurus, lingkarannya akan dihasilkan melalui
garis ini.
Pembuatan dua titik A dan B akan mendefiniskan
dua buah titik fokus elips. Anda akan diminta mengklik satu kali lagi untuk
menentukan suatu titik pada elips tersebut.
Hiperbola
Pembuatan dua titik A dan B akan mendefiniskan
dua buah titik fokus hiperbola. Anda akan diminta mengklik satu kali lagi untuk
menentukan suatu titik pada hiperbola tersebut.
Parabola
Pembuatan titik A akan mendefiniskan titik
fokus parabola. Anda akan diminta mengklik satu garis (jika belum ada garis,
anda harus membuatnya terlebih dahulu sebelum menentu titik fokus parabola)
sebagai suatu garis arah (direktriks).
Konik melalui lima titik
Pembuatan lima titik menghasilkan suatu irisan
kerucut yang melalui titik-titik tersebut.
Catatan: Suatu irisan kerucut akan terdefinisi jika
tidak ada empat dari lima titik yang terletak pada suatu garis.
Catatan: Nilai aljabar
dari suatu busur adalah panjangnya. Nilai aljabar dari suatu sektor adalah luasnya.
Pembuatan dua titik A dan B
menghasilkan suatu busur setengah lingkaran pada suatu ruas garis AB.
Pembuatan tiga titik M, A, dan B
menghasilkan suatu busur sirkular dengan pusat M, berawal dari titik A dan berakhir pada titik B atau
terletak pada ruas garis MB.
Catatan: Titik B tidak harus selalu terletak pada
busur tersebut.
Pembuatan tiga titik M, A, dan B
menghasilkan suatu sektor sirkular dengan pusat M, berawal dari titik A dan berakhir pada titik B atau
terletak pada ruas garis MB.
Catatan: Titik B tidak harus selalu terletak pada
sektor tersebut.
Pengklikan tiga titik menghasilkan suatu busur
yang melalui tiga titik tersebut.
Pengklikan tiga titik menghasilkan suatu sektor
yang melalui tiga titik tersebut.
Mode ini menghasilkan jarak dari dua titik, dua
garis, atau antara titik dan garis. Ini juga dapat memberikan anda panjang
suatu ruas garis atau busur suatu lingkaran.
Luas
Mode ini memberikan anda luas dari suatu
poligon, lingkaran, atau elips sebagai teks yang dinamis pada jendela geometri.
Kemiringan
Mode ini memberikan anda kemiringan suatu garis
sebagai teks yang dinamis pada jendela geometri.
Catatan: Pada GeoGebra suatu lucuran tiada lain adalah
representasi grafik dari suatu angka atau sudut bebas.
Klik pada sembarang tempat kosong pada panel
gambar untuk membuat luncuran untuk suatu angka atau sudut. Jendela yang muncul
membolehkan anda untuk menentukan nama, interval [minimum, maksimum]
dari suatu angka atau sudut, pada ujung-ujung luncuran (dalam pixel).
Catatan: Anda dapat dengan mudah membuat suatu
luncuran untuk angka atau sudut yang bebas dengan menampilkan objek ini (lihat Menu
Konteks; lihat mode
Tampil /
Sembunyi objek).
Tampil /
Sembunyi objek).
Posisi dari luncuran dapat tetap pada layar
atau reletif pada sistem koordinat (lihat Properti pada angka atau sudut yang bersesuaian).
Mode ini membuat …
·
sudut antara tiga titik
·
sudut antara dua ruas garis
·
sudut antara dua dua garis
·
sudut antara dua vektor
·
semua sudut dalam dari suatu poligon
Jika anda ingin membatasi
ukuran maksimum dari suatu sudut kepada menjadi 180°, hilangkan centang bolehkan sudut reflex pada Dialog Properti.
Klik dua titik A dan B
dan masukan ukuran sudut pada Bilah
masukan pada jendela yang muncul. Mode ini menghasilkan suatu titik C
dan suatu sudut α, dimana α adalah sudut ABC.
Pengklikan pada panel gambar menghasilkan kotak centang (peubah
Boolean) untuk menampilkan atau menyembunyikan satu atau beberapa objek. Pada
jendela yang muncul anda dapat memilih objek mana yang harus terpengaruh oleh
kotak centang tersebut.
Klik suatu titik B yang
bergantung pada titik yang lain, katakanlah titik A dan lokusnya harus
digambarkan, lalu klik pada titik A tersebut.
Catatan: Titik A
harus merupakan titik pada suatu objek (seperti garis, ruas garis, lingkaran).
Contoh:
·
Ketik
f(x) = x^2 – 2 x – 1 pada Bilah
masukan.
·
Buat titik B = (x(A), f’(x(A)))
yang bergantung pada titik A.
·
Drag titik A sepanjang sumbu-x untuk melihat
titik B bergerak sepanjang garis lokusnya.
Geometri Transformasi berikut ini berlaku untuk
titik, garis, irisan kerucut, poligon, dan gambar:
Pertama, klik objek yang akan dicerminkan,
selanjutnya klik pada titik yang menjadi cerminnya.
Refleksi titik pada
lingkaran
Pertama, klik titik yang akan dicerminkan,
selanjutnya klik pada lingkaran yang menjadi cerminnya. Mode ini akan mencari
invers titik pada suatu lingkaran.
Rotasi objek mengitari titik
dengan sudut
Pertama, klik objek yang akan dirotasikan, lalu
klik pada titik yang menjadi pusat rotasi. Selanjutnya akan muncul jendela dimana
anda harus memasukan besaran sudut rotasinya.
Dilatasi objek dari dari titik
Pertama, klik objek yang akan didilatasikan,
lalu klik pada titik yang menjadi pusat dilatasi. Selanjutnya akan muncul
jendela dimana anda harus memasukan besaran faktor dilatasinya.
Pencocokan garis
terbaik
Pilihkan beberapa titik dengan men-drag-nya menggunakan segiempat pilihan,
atau kliklah suatu daftar titik. Pencocokan garis pada mode ini hanya
pencocokan pada garis linier regresi y
atas x (lihat CocokGarisX).
Dengan mode ini anda dapat
membuat teks statis dan dinamis atau formula LaTeX pada jendela geometri.
·
Pengklikan pada panel gambar membuat teks baru
pada lokasi tersebut.
·
Pengklikan suatu titik membuat teks baru yang
posisinya relatif terhadap titik tersebut.
·
Selanjutnya suatu dialog akan muncul dimana anda
dapat memasukan teksnya.
Catatan: Hal ini juga
memungkinkan kita untuk menggunakan nilai dari suatu objek untuk membuat teks
dinamis.
|
Masukan
|
Deskripsi
|
|
“Ini adalah teks”
|
teks sederhana (statis)
|
|
“Titik A = ” + A
|
teks dinamis menggunakan nilai dari titik A
|
|
“a = ” + a + ”cm”
|
teks dinamis menggunakan nilai dari ruas
garis a
|
Posisi dari teks dapat tetap pada layar atau
relatif pada sistem koordinat (lihat Properti dari teks).
Formula LaTeX
Pada GeoGebra, anda dapat menulis rumus-rumus
atau persamaan matematika. Untuk melakukannya centanglah kotak Formula LaTeX pada dialog mode 
Teks dan masukan formula
anda dalam LaTeX syntax.
Teks dan masukan formula
anda dalam LaTeX syntax.
Di bawah ini adalah beberapa
perintah LaTeX yang penting. Silahkan anda lihat sembarang pedoman LaTeX untuk
informasi lebih lanjut.
|
Masukan LaTeX
|
Hasil
|
|
a \cdot b
|
 |
|
\frac{a}{b}
|
 |
|
\sqrt{x}
|
 |
|
\sqrt[n]{x}
|
 |
 |
|
|
\overline{AB}
|
 |
|
x^{2}
|
 |
|
a_{1}
|
 |
|
\sin\alpha + \cos\beta
|
 |
|
\int_{a}^{b} x dx
|
 |
|
\sum_{i=1}^{n} i^2
|
 |
Mode ini membolehkan anda
menambahkan suatu gambar pada konstruksi yang anda buat.
·
Pengklikan pada panel gambar akan menempatkan
pojok kiri bawah dari suatu gambar pada posisi tersebut.
·
Pengklikan pada suatu titik akan menjadikan
titik tersebut sebagai ujung kiri bawah dari gambar tersebut.
Selanjutnya dialog buka file
akan muncul dimana anda dapat memilih gambar mana yang akan dimasukan.
LATIHAN
1. Persegi
A. Persiapan
- Open a new GeoGebra file.
- Hide algebra window, input field and coordinate axes (View menu).
- Change the labeling setting to New points only (menu Options – Labeling).
B. Lankah-langkah
|
1
|
|
Klik Segment AB between points A and B
|
|
2
|
 |
Perpendicular line b to segment AB through point B
|
|
3
|
 |
Circle c with center B through point A
|
|
4
|
 |
Intersect circle c with perpendicular line b to get intersection point C
|
|
5
|
|
Perpendicular line d to
segment AB through point A
|
|
6
|
|
Circle e with center A through point B
|
|
7
|
|
Intersect perpendicular line
d with circle e to get intersection point D
|
|
8
|
 |
Create polygon ABCD
|
|
|
|
Hint: Don’t forget to
close the polygon by clicking on point A
after selecting point D.
|
|
9
|
 |
Hide circles and
perpendicular lines
|
|
10
|
 |
Use the drag test to check
if your construction is correct
|
2. Persegi Panjang
A. 
Persiapan
Persiapan
·
Open new GeoGebra file.
·
Hide algebra window, input field and coordinate
axes (View menu).
·
Change the labeling setting to New points only (menu Options – Labeling).
B. Langkah-Langkah
|
1
|
|
Segment AB
|
|
2
|
|
Perpendicular line to segment AB through point B
|
|
3
|
 |
New point C
on perpendicular line
|
|
4
|
 |
Parallel line to segment AB through point C
|
|
5
|
|
Perpendicular line to segment AB through point A
|
|
6
|
|
Intersection point D
|
|
7
|
|
Polygon ABCD
|
|
|
|
Hint: To close the polygon click on the first
vertex again.
|
|
8
|
 |
Save the
construction
|
|
9
|
|
Apply the drag test to check if the construction is
correct
|
3. Segitiga Sama sisis
·
Open new GeoGebra file.
·
Hide algebra window, input field and coordinate
axes (View menu).
·
Change the labeling setting to New points only (menu Options – Labeling).
·
Introduction of new tools
B. Langkah-Langkah
|
1
|
|
Segment AB
|
|
2
|
|
Circle with center A through B
|
|
|
|
Hint: Drag points A and B to check if
circle is connected to them.
|
|
3
|
|
Circle with center B through A
|
|
4
|
|
Intersect both circles to get point C
|
|
5
|
|
Polygon ABC in counterclockwise direction
|
|
6
|
|
Hide circles
|
|
7
|
 |
Show interior angles of triangle
|
|
|
|
Hint: Clockwise creation of the polygon
gives you the exterior angles!
|
|
8
|
|
Save the construction
|
|
9
|
|
Apply the drag test to check if the
construction is correct.
|
Preparations
Open a new GeoGebra file.
Hide the algebra window, input field, and coordinate axes
(View menu).
Change the labeling setting to New points only (menu Options
– Labeling).
Instructions
|
1
|
|
Segment a
with endpoints AB
|
|
2
|
 |
Semicircle c
through points A and B
|
|
3
|
|
New point C
on the semicircle
|
|
|
|
Hint: Check if point C really lies on the arc by dragging it with the mouse.
|
|
4
|
|
Hide the segment and the semicircle.
|
|
5
|
|
Triangle ABC
in counterclockwise direction
|
|
6
|
 |
Rename the triangle sides to a, b, and c.
|
|
7
|
|
Interior angles of triangle ABC
|
|
|
|
Hint: Click in the middle of the polygon to
create all angles.
|
|
8
|
|
Drag point C
to check if your construction is correct.
|
|
9
|
|
Perpendicular line d to segment BC through point C
|
|
10
|
|
Perpendicular line e to segment BC through point B
|
|
11
|
|
Circle f with center C through point B
|
|
12
|
|
Intersect circle f
and perpendicular line d to get
intersection point D
|
|
13
|
|
Parallel line g to segment BC through point D
|
|
14
|
|
Intersection point E
of lines e and g
|
|
15
|
|
Square CBED
|
|
16
|
|
Hide the auxiliary lines and circle.
|
|
17
|
|
Repeat steps 8 to 15 for side AC of the triangle.
|
|
18
|
|
Repeat steps 8 to 15 for side AB of the triangle.
|
|
19
|
|
Drag the vertices of the right triangle to check if
your squares are correct.
|
|
20
|
|
Enhance your construction using the Properties dialog.
|
Enhancing the construction
Insert static and dynamic text into your construction
that helps to understand the Pythagorean theorem 
where a and b are the legs and c is
the hypothenuse of a right triangle.
where a and b are the legs and c is
the hypothenuse of a right triangle.
Introduction of a new tool
 |
Copy visual style New!
Hint: Click on an object to copy its visual style. Then,
click on other objects to match their visual style with the first object.
|
Hints: Don’t forget to read the toolbar help if
you don’t know how to use the tool. Try out the new tool before you start the
construction.
Instructions
|
21
|
 |
Create the midpoints of all three squares
|
|
|
|
Hint: Click on diagonal opposite vertices of
each square.
|
|
22
|
 |
Insert static text1:
"a^2" and attach it to the midpoint
of the corresponding square
|
|
|
|
Hint: Don’t forget to check the box LaTeX
formula to get a2.
|
|
23
|
|
Insert static text2:
"b^2" and attach it to the midpoint
of the corresponding square
|
|
24
|
|
Insert static text1:
"c^2" and attach it to the midpoint
of the corresponding square
|
|
25
|
|
Hide the midpoints of the squares.
|
|
26
|
|
Format the text to match the color of the corresponding
squares.
|
|
27
|
|
Insert text that describes the Pythagorean theorem.
|
|
28
|
|
Export your construction as a dynamic worksheet. Come
up with an explanation that helps your students understand the theorem of
Pythagoras.
|
